Pengertian Bilangan Prima, Konsep, Contoh, dan Cara Mencarinya – Pernahkah Anda mendengar istilah “bilangan prima”? Bagi sebagian besar orang, bilangan ini mungkin terdengar asing atau tidak penting. Namun, di dunia matematika, bilangan prima memiliki peran yang sangat penting.
Dalam artikel ini, kita akan membahas apa itu bilangan prima, contoh bilangan prima, serta bagaimana cara mencarinya.
Apa Itu Bilangan Prima?
Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya dapat dibagi dengan angka 1 dan dirinya sendiri. Sebagai contoh, 2, 3, 5, 7, 11, dan 13 semuanya termasuk bilangan prima karena hanya dapat dibagi dengan 1 atau dirinya sendiri. Sedangkan bilangan 4, 6, 8, 9, 10, dan seterusnya bukanlah bilangan prima karena dapat dibagi dengan angka lain selain 1 dan dirinya sendiri.
Bilangan Prima Adalah Bilangan Khusus
Bilangan prima adalah bilangan khusus karena hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan lain yang bukan prima disebut bilangan komposit, karena memiliki lebih dari dua faktor. Faktorisasi prima atau prime factorization adalah proses memecah bilangan menjadi faktor-faktor prima. Contohnya, faktorisasi prima dari 12 adalah 2 x 2 x 3.
Bilangan Prima 1-100
Berikut adalah daftar bilangan prima dari 1-100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, dan 97.
Contoh Bilangan Prima
Contoh bilangan prima lainnya antara lain:
- 19
- 37
- 83
- 131
- 173
- 227
- 293
- 359
- 419
- 463
Tabel Bilangan Prima 1-100 dan 1-100
Rumus Bilangan Prima
Rumus Bilangan Prima Ada beberapa rumus yang dapat digunakan untuk mencari bilangan prima. Namun, sebelum kita membahas rumus-rumus tersebut, mari kita bahas cara sederhana untuk mencari bilangan prima.
Pertama, kita mulai dengan bilangan bulat positif yang ingin kita uji, misalnya 17. Kemudian, kita cari bilangan bulat positif di antara 2 dan akar dari 17 (yaitu 4) yang dapat membagi 17 tanpa sisa. Karena tidak ada bilangan bulat positif selain 1 dan 17 itu sendiri yang dapat membagi 17 tanpa sisa, maka 17 merupakan bilangan prima.
Namun, metode ini tidak efisien jika kita ingin mencari bilangan prima yang sangat besar. Oleh karena itu, ada beberapa rumus yang dapat digunakan untuk mencari bilangan prima dengan lebih efisien, antara lain:
Rumus Prima Pertama Euclid
Rumus ini ditemukan oleh matematikawan Yunani bernama Euclid. Rumusnya adalah sebagai berikut: Jika p adalah bilangan prima, maka p = 6k ± 1, di mana k adalah bilangan bulat positif.
Contoh:
- Untuk k = 1, 6k – 1 = 5 dan 6k + 1 = 7, sehingga 5 dan 7 merupakan bilangan prima.
- Untuk k = 2, 6k – 1 = 11 dan 6k + 1 = 13, sehingga 11 dan 13 merupakan bilangan prima.
Uji Prima Miller-Rabin
Rumus ini lebih kompleks daripada rumus Euclid, namun lebih efisien untuk bilangan yang sangat besar. Rumusnya adalah sebagai berikut: Untuk bilangan bulat positif n dan bilangan bulat positif a < n, misalkan d dan s adalah bilangan bulat positif sehingga n – 1 = 2^s x d dengan d ganjil. Jika a^d mod n = 1 atau a^(2^r x d) mod n = -1 untuk suatu bilangan bulat positif r < s, maka n kemungkinan besar merupakan bilangan prima.
Uji Prima AKS
Rumus ini ditemukan oleh tiga matematikawan India bernama Agrawal, Kayal, dan Saxena pada tahun 2002. Rumusnya lebih kompleks daripada kedua rumus sebelumnya, namun lebih efisien untuk bilangan yang sangat besar. Rumusnya adalah sebagai berikut: Sebuah bilangan n adalah prima jika dan hanya jika polinomial (x – 1)^n – (x^n – 1) memiliki koefisien yang habis dibagi n.
Kesimpulan
Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya dapat dibagi dengan angka 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memiliki peran yang sangat penting dalam matematika dan berbagai aplikasinya, seperti dalam enkripsi data dan pembangkitan angka acak.
Beberapa rumus dapat digunakan untuk mencari bilangan prima, seperti rumus Euclid, uji prima Miller-Rabin, dan uji prima AKS. Dengan menggunakan rumus-rumus tersebut, kita dapat mencari bilangan prima dengan lebih efisien, terutama untuk bilangan yang sangat besar.
